含有重复数字的密码更保险,让你立刻爱上数学
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死理性派的小编经常会被问到的一个问题:数学到底哪里有趣了,数学之美又在哪里?这篇文章精心选择了 10 个老少咸宜的算术问题,以定理、趣题甚至未解之谜等各种形式带领大家窥探数学世界的一角。不少问题背后都蕴含了深刻的数学知识,触及到数学的各个领域。希望从小数学就不及格的朋友们能够喜欢上数学这门充满乐趣的学科。

手机触摸屏给用户带来了各种便捷直观的操作体验,但同时也带来了大多数人都不曾料到的一个安全隐患:在输入密码时,你的指纹会留在手机屏幕上,这将会泄露你的密码中含有哪些数字,于是便又诞生了一出悲剧。由于 4 个不同的数字有 4! = 24 种可能的排列方案,因此即使你设定的密码是一个没有重复数字的四位数密码,小试 24 次后就能暴力破解出密码来。一个有趣的事实是,此时,只含有三种数字的四位数密码反而更保险一些。

图片 1罐子里泡着的这些沿海物种,来自夏威夷群岛和美国西海岸。不过,它们并非本地物种,而是在2011年大海啸,凭借人类废弃物的“庇护”,逃出灾后的日本,横穿了整个太平洋。图片来源:Science | 摄影:Ken Richardson

数字黑洞 6174

任意选一个四位数(数字不能全相同),把所有数字从大到小排列,再把所有数字从小到大排列,用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作,7 步以内必然会得到 6174。

例如,选择四位数 6767:

7766 - 6677 = 10899810 - 0189 = 96219621 - 1269 = 83528532 - 2358 = 61747641 - 1467 = 6174……

6174 这个“黑洞”就叫做 Kaprekar 常数。对于三位数,也有一个数字黑洞——495。

只有三种数字更安全

如果一个四位数密码只含有三种数字,那么一定有一个数字出现了两次。不妨假设这三种数字是 1、2、3,并且数字 1 被使用了两次。于是,4 个数字的全排列中每一种排列都被重复计算了一次,不同的密码组合数有 4! / 2 = 12 种。我们可以把这 12 种组合列举在下面:

1123, 1132, 1213, 1312, 1231, 1321,

2113, 2131, 2311, 3112, 3121, 3211

且慢,这只是当数字 1 为重复数字时的情况。类似地,如果被用过两次的数字是数字 2,也有另外 12 种组合;再算上数字 3 是那个重复数字的情况,又会增加 12 种可能的组合。因此,用三种数字构造一个四位数密码,一共有 36 种方案。看来,有时候含有重复数字的密码更保险一些呢。

如果在日本遭遇地震和海啸,皮皮虾最远能够逃到世界上什么地方?9月《科学》(Science)杂志的封面文章表明,大概能够逃到太平洋另一边的夏威夷和北美大陆。

3x + 1 问题

从任意一个正整数开始,重复对其进行下面的操作:如果这个数是偶数,把它除以 2 ;如果这个数是奇数,则把它扩大到原来的 3 倍后再加 1 。你会发现,序列最终总会变成 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 的循环。

例如,所选的数是 67,根据上面的规则可以依次得到:

67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17,52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

数学家们试了很多数,没有一个能逃脱“421 陷阱”。但是,是否对于 所有 的数,序列最终总会变成 4, 2, 1 循环呢?

这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下,问题非常简单,突破口很多,于是数学家们纷纷往里面跳;殊不知进去容易出去难,不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数,这可以从 3x + 1 问题的各种别名看出来: 3x + 1 问题又叫 Collatz 猜想、 Syracuse 问题、 Kakutani 问题、 Hasse 算法、 Ulam 问题等等。后来,由于命名争议太大,干脆让谁都不沾光,直接叫做 3x + 1 问题算了。

直到现在,数学家们仍然没有证明,这个规律对于所有的数都成立。

只有两种数字会更安全吗?

如果四位数密码中包含的不同数字更少,是不是会更安全一些呢?不是。如果密码的各位数字只允许从 1 和 2 之间选取,一共只有 2 × 2 × 2 × 2 = 16 种方案;排除“1111”和“2222”两种情况,包含两种不同已知数字的密码只有 14 种。

因此,密码包含的数字也不是越少越好。如果密码中只有一种数字的话——压根儿就不用去试了。

来源: Mind Your Decisions

也许你会说,试 24 次和试 36 次差不多嘛。不过,随着密码长度的增大,这种效应会进一步放大。如果有某路高人成功获知了你的银行卡六位数密码中含有的数字,他最多要试多少次才能猜中你的密码呢?这就要看你的银行卡密码中有多少种不同的数字了。当你的银行卡密码包含的不同数字分别有 6、5、4、3、2、1 种时,可能的密码组合分别有 720、1800、1560、540、62 和 1 种。可以看出,对于六位的银行卡密码,有一个重复数字也会是最保险的。

2011年3月日本东北地方近海地震六年后,来自地震海啸灾区的各种残骸仍在源源不断地漂流到美国和加拿大的海滩上。这些残骸大到渔船、木材,小到塑料筐、浮标,漂洋过海来到了新大陆,同时搭顺水船而来的,还有成千上万的大小生物。

特殊两位数乘法的速算

如果两个两位数的十位相同,个位数相加为 10,那么你可以立即说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作 AB 和 AC,那么它们的乘积的前两位就是 A 和 A + 1 的乘积,后两位就是 B 和 C 的乘积。

比如,47 和 43 的十位数相同,个位数之和为 10,因而它们乘积的前两位就是 4×(4 + 1)=20,后两位就是 7×3=21。也就是说,47×43=2021。

类似地,61×69=4209,86×84=7224,35×35=1225,等等。

这个速算方法背后的原因是,(10 x + y) (10 x + (10 - y)) = 100 x (x + 1) + y (10 - y) 对任意 x 和 y 都成立。

图片 2运输日本地震海啸残骸的主要洋流。红色星星是震中,粉色三角形处分别发现了来自日本青森县三泽渔港的3个渔业作业平台,蓝色圆点处则发现了日本渔船。图片来源:参考文献[1]

幻方中的幻“方”

一个“三阶幻方”是指把数字 1 到 9 填入 3×3 的方格,使得每一行、每一列和两条对角线的三个数之和正好都相同。下图就是一个三阶幻方,每条直线上的三个数之和都等于 15。

图片 3

大家或许都听说过幻方这玩意儿,但不知道幻方中的一些美妙的性质。例如,任意一个三阶幻方都满足,各行所组成的三位数的平方和,等于各行逆序所组成的三位数的平方和。对于上图中的三阶幻方,就有

816 2 + 357 2 + 492 2 = 618 2 + 753 2 + 294 2

利用线性代数,我们可以证明这个结论。

上图中的箭头标示了洋流的大致方向,如果现实有这么简单,那么绝大部分海啸残骸都会在差不多的时间地点靠岸。而现实世界中的洋流,是下图这样。海洋中的残骸相聚分离,兜兜转转,到现在,地震过去6年了,每年还有差不多的数量的残骸在太平洋对面的美国西海岸登陆。

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